Tổng quan lý thuyết và giải 10 trang 71; bài 11,12,13,14 trang 72 SGK Toán 9 tập 2: Mối quan hệ giữa dây cung và dây cung – Chương 3 hình học 9.

1. Định lý 1

Đối với hai cung nhỏ nằm trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau nối hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau nối hai cung bằng nhau

2. Định lý 2

Đối với hai cung nhỏ nằm trong một đường tròn hoặc trong hai đường tròn bằng nhau:

b) Dây càng lớn thì lực căng dây cung càng lớn

Hướng dẫn giải bài tập Mối liên hệ giữa cung và dây SGK trang 71,72 SGK Toán 9 tập 2.

Bài 10. a) Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm. Chỉ ra cách bạn vẽ cung AB có số đo là 60º. Hỏi đoạn dây AB dài bao nhiêu cm?

b) Cách chia đường tròn thành sáu cung bằng nhau như hình 12.

a) Vẽ đường tròn (O; R). Vẽ góc ở tâm có số đo 60º. Góc này cắt cung BOA có số đo 60º (Hình a).

Tam giác AOB cân với góc O = 60º nên tam giác đều nên AB = R.

b) Theo câu a ta có góc ở tâm bằng dây cung AB = 60º. Số đo của góc ở tâm đã vẽ là 360º : 60º= 6. Suy ra trong đường tròn có 6 cung bằng nhau.

Từ đó, bản vẽ có thể được vẽ như sau:

A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = A5A6 = A6A1 = R

Suy ra có 6 cung tròn bằng nhau:

Cung A1A2 = A2A3 = A3A4 =A4A5= A5A6 = A6A1 = 60º (Hình b)

Bài 11. Cho hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau cắt nhau tại hai điểm A và B. Vẽ các đường kính AOC, AO’D. Gọi E là giao điểm thứ hai của AC với đường tròn (O’).

a) So sánh các cung nhỏ BC, BD.

b) Chứng minh B là trung điểm của cung EBD (tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau: BE = BD)

a) Nối C với D.

Lại có góc ABC = 90°; vì có OB = OC = OA = R (tính chất trung bình ứng với cạnh huyền) Tương tự với góc ABD = 90°

=> ABC + ABD = 180°

=>C; B; D thẳng hàng và AB CD

=> BC = BD

=> cung BC = cung BD

b) Nối E với D; từ B đến BH ED

Ta có góc DEA = 90° (chứng minh tương tự cho a)

=> BH // EC

Theo a ta có BE = BD

=> BH là đường trung bình của tam giác CDE

=> AI = HD

mà BH ED => B là trung điểm của cung EBD

Bài 12 trang 72. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O hạ các đường vuông góc OH, Ok lần lượt xuống BC, BD (H ∈ BC, K ∈ BD).

a) Chứng minh rằng OH > Ok.

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

Đáp án bài 12:

a) Cho tam giác ABC ta có: BC OK (Nối hợp âm và khoảng cách tâm)

b) Ta có BC

Bài 13. Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai dây cung cắt bởi hai dây cung song song thì bằng nhau.

Giá: Giả sử AB và CD là hai đường thẳng song song của đường tròn (O). Vẽ OI ⊥ AB (I ∈ AB) và OK ⊥ CD (K∈CD. Vì AB //CD nên I,O,K thẳng hàng. Vì các tam giác OAB, OCD là tam giác cân có đỉnh O nên vẽ các đường cao từ đỉnh thậm chí còn giảm một nửa.

Vậy ta có: Góc ∠O1 = O2, ∠O3 = ∠O4

Giả sử AB nằm ngoài góc COD, ta có:

∠AOC = 1800 – (∠O1 + O3) = 1800 -(∠O2 + ∠O4) = BOD

Ta kết luận r cung AC= cung BD. Tức là hai cung bị ngắt giữa hai dây song song thì bằng nhau. Ta chứng minh các trường hợp khác tương tự.

Bài 14. Chứng minh rằng một đường kính đi qua trung điểm của một cung thì đi qua trung điểm của dây cung đó. Mệnh đề ngược lại có đúng không? Hãy cho thêm điều kiện để nghịch đảo đúng. b) Chứng minh rằng đường kính đi qua trung điểm của một cung thì vuông góc với dây cung và ngược lại.

Trả lời. a) Giả sử đường kính CD của đường tròn (O) có C là trung điểm của cung AB, tức cung AC = cung CB sinh O1 = O2

Gọi I là giao điểm của CD và AB. Khi đó OI là phân giác và trung tuyến của tam giác OAB (Vì ΔOAB là đỉnh O).

Vậy em là trung điểm của AB.

* Mệnh đề ngược lại không đúng vì nếu dây cung AB cũng là đường kính thì dây cung CD đi qua trung điểm của dây cung AB mà không đi qua trung điểm của dây cung AB.

* Muốn đảo ngược mệnh đề ta phải nói thêm: Đường kính đi qua trung điểm của một đoạn thẳng không đi qua tâm của đường tròn thì nó đi qua trung điểm của cung kéo dài bởi đoạn thẳng đó.

b) Pro: Giả sử đường kính CD đi qua C là trung điểm của cung AB cung AC = cung CB

⇒ AOC = COB ⇒ OC là tia phân giác của góc ∠AOB

Vì ΔOAB là đỉnh O nên đường phân giác cũng là đường cao.

Vậy: OC ⊥ AB hay CD ⊥ AB.

Nghịch lại: Giả sử đường kính AB ⊥ CD tại I.

Khi đó: OI là tia phân giác của góc ∠AOB AOC = BOC AC= BC

⇒ C là trung điểm của cung AB.