Chứng minh rằng với (nin {mathbb N}^*) ta luôn có:

LG một

({n^3} + {rm{ }}3{n^2} + {rm{ }}5n) chia hết cho (3);

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với (n=1).

Bước 2: Giả sử rằng đẳng thức đúng với (n=k ge 1) (giả định quy nạp). Chứng minh rằng đẳng thức có tới (n=k+1).

Giải thích chi tiết:

Đặt (S_n={n^3} + {rm{ }}3{n^2} + {rm{ }}5n)

Vì (n = 1) thì (S_1 = 9) chia hết cho (3)

Giả sử cho (n = k ≥ 1), (S_k= ({k^3} + {rm{ }}3{k^2} + {rm{ }}5k) vdots) (3)

Ta cần chứng minh rằng (S_{k+1})( vdots) (3)

Thật sự :

(S_{k+1}={left( {k{rm{ }} + {rm{ }}1} phải)^3} + {rm{ }}3{left( {k{rm{ }} + { rm{ }}1} phải)^2} + {rm{ }}5 trái( {k{rm{ }} + {rm{ }}1} phải))

( = {k^3}{rm{ }} + {rm{ }}3{k^2} + {rm{ }}3k{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} + { rm{ }}3{k^2} + {rm{ }}6k{rm{ }} + {rm{ }}3{rm{ }} + {rm{ }}5k{rm{ }} + {rm{ }}5)

hoặc ({S_{k + 1}} = {S_k} + {rm{ }}3({k^2} + {rm{ }}3k{rm{ }} + {rm{ }}3))

Theo giả thiết quy nạp thì (S_k ) ( vdots) (3), ngược lại (3({k^2} + {rm{ }}3k{rm{ }} + {rm{ }}3) vdots) (3) phải ( S_{k+1} vdots) (3).

Vậy ({n^3} + {rm{ }}3{n^2} + {rm{ }}}5n) chia hết cho (3) cho mọi (nin {mathbb N}^*)

lg b

({4^n} + {rm{ }}15n{rm{ }} – {rm{ }}1) chia hết cho (9)

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với (n=1).

Giải thích chi tiết:

Đặt ({S_n} = {4^n} + {rm{ }}15n{rm{ }} – {rm{ }}1)

Với (n{rm{ }} = {rm{ }}1,{S_1} = {rm{ }}{4^1} + {rm{}}15,1{rm{ }}-{rm{ }} 1{ rm{ }} = {rm{ }}18) nên (S_1 vdots) (9)

Giả sử (n = k ≥ 1) thì ({S_k} = {rm{ }}{4^k} + {rm{ }}15k{rm{ }} – {rm{ }}1) chia hết cho ( 9) .

Ta cần chứng minh (S_{k+1} vdots) (9).

Thật vậy, chúng ta có:

({S_{k + 1}} = {rm{ }}{4^{k{rm{ }} + {rm{ }}1}} + {rm{ }}15left( {k{rm{ }} + {rm{ }}1} phải){rm{ }}-{rm{ }}1)

( = {4,4^k} + 15k + 15 – 1) ( = {4,4^k} + 15k + 14) ( = {4,4^k} + 60k – {45k} + 18 – 4)

( = {rm{ }}4({4^k} + {rm{}}15k{rm{}}-{rm{ }}1){rm{}}-{rm{}}45k{rm{ } } + {rm{ }}18{rm{ }} ) (= {rm{ }}4{S_k}-{rm{ }}9 trái ( {5k{rm{ }}-{rm{ }}2} phải ) )

Theo giả thiết quy nạp thì (S_k vdots) (9) phải là (4S_k vdots) (9), ngược lại (9(5k – 2) vdots) (9), phải là (S_{k+1} vdots) (9)

Vì vậy ((4^n+ 15n – 1) vdots) (9) cho tất cả (nin {mathbb N}^*)

lg c

({n^3} + {rm{ }}11n) chia hết cho (6).

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với (n=1).

Bước 2: Giả sử rằng đẳng thức đúng với (n=k ge 1) (giả định quy nạp). Chứng minh rằng đẳng thức có tới (n=k+1).

Sau đó, đẳng thức giữ cho tất cả (n trong N^*).

Giải thích chi tiết:

Đặt ({S_n} = {n^3} + {rm{ }}11n)

Với (n = 1) ta có ({S_1} = {rm{ }}{1^3} + {rm{ }}11.1{rm{ }} = {rm{ }}12) nên (S_1) ( vdots ) (6)

Giả sử rằng (n = k ≥ 1) , ({S_{k}} = {k^3} + {rm{ }}11k ) chia hết cho 6.

Ta cần chứng minh (S_{k+1})( vdots) 6

Thật vậy, chúng tôi có

({S_{k + 1}} = {rm{ }}trái( {k{rm{ }} + {rm{ }}1}phải)^3{rm{ }} + {rm{ }}11trái( { k{rm{ }} + {rm{ }}1} phải){rm{ }})

(= {rm{ }}{k^3} + {rm{ }}3k^2+ {rm{ }}3k{rm{ }} + {rm{ }}1{rm{ }} + {rm{ } }11k{rm{ }} + {rm{ }}11)

( = ({rm{}}{k^3} + {rm{ }}11k){rm{ }} + {rm{ }}3({k^2} + {rm{ }}k{rm{ } ) } + {rm{ }}4){rm{ }} = {rm{ }}{S_k} + {rm{ }}3({k^2} + {rm{ }}k{rm{ }} + { rm{ }}4))

Theo giả thiết quy nạp, (S_k)( vdots) (6), ngược lại (k^2+ k + 4 = k(k + 1) + 4) chẵn nên (3(k^2+ k + 4) )) ( vdots) (6), nên (S_{k+1})( vdots) (6)

Vậy (n^3+ 11n) chia hết cho (6) cho mọi (nin {mathbb N}^*).