Nguyên hàm là một trong những chuyên đề quan trọng của Giải tích 12 và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học. Vì vậy, có công thức nguyên thủy Điều gì là quan trọng để ghi nhớ? Team Marathon Education sẽ giúp bạn giải đáp thắc mắc và tìm hiểu thêm về bảng công thức nguyên thủy từ cơ bản đến nâng cao và các cách khắc phục sự cố sơ cấp thường gặp qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Sơ – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập

Hàm nguyên thủy là gì?

Trước khi đi sâu vào tìm hiểu các công thức về nguyên hàm, học sinh phải nắm vững khái niệm nguyên hàm, cũng như các tính chất, định lý liên quan của chúng.

định nghĩa của nguyên thủy

Cho hàm số f(x) xác định trên K, lúc này hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) (với mọi x ∊ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa phạm vi trên ℝ).

Ký hiệu nguyên hàm của hàm f(x) là:

Định lý nguyên thủy

Ba định lý nguyên thủy là:

• Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm if(x) trên K. Khi đó, với bất kỳ hằng số C nào, hàm G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm nếu(x).
• Định lý 2: Trong K, nếu F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) thì mọi nguyên hàm if(x) trên K đều có dạng F(x) + C, trong đó C là hằng số, tùy ý.
• Định lý 3: Trên K, mọi hàm số liên tục f(x) đều có nguyên hàm.

thuộc tính nguyên thủy

Ba thuộc tính cơ bản của nguyên thủy được hiển thị dưới đây:

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng và nâng cao

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm mở rộng

Bảng công thức nguyên hàm nâng cao

Bảng nguyên hàm của các hàm lượng giác

2 phương pháp phổ biến để giải các bài toán nguyên hàm

phương pháp biến

Đây là phương pháp được sử dụng nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, các em phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm nhanh hơn, chính xác hơn.

Phương pháp chuyển đổi loại 1:

Cho một hàm u = u(x) có đạo hàm liên tục tại K, y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định tại K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

P[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + CŨ

Giải pháp:

Đầu tiên, chọn t = φ(x) và lấy đạo hàm cả hai vế: dt = φ’

Sau đó biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g

f(x)dx = f[φ

Giải pháp:

Đầu tiên, chọn x = φ

Thực hiện phép biến đổi: f(x)dx = f[φ

Tính: ∫f(x)dx = ∫g

Phương pháp nguyên thủy từng phần

phương pháp chung

định lý: Nếu hai hàm u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục tại K thì:

Giải pháp:

Đầu tiên, bạn cần chuyển đổi tích phân đầu tiên thành dạng:

Tuỳ từng dạng toán cụ thể mà các em áp dụng phương pháp cho phù hợp.

Các dạng từng phần nguyên thủy phổ biến

Hình thức 1:

Mẫu 2:

Mẫu 3:

>>> Xem thêm: Phương pháp nguyên hàm từng phần và công thức tính chi tiết

Bài tập về căn thức nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Chủ thể:

Một. Đưa ra định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) đã cho trên một khoảng.

b. Phương pháp nguyên thủy một phần là gì? Cho ví dụ minh họa cách tính trên.

Hướng dẫn giải bài tập:

Một. Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) tại D khi Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

b.

Phương pháp nguyên thủy từng phần được định nghĩa như sau:

Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục tại D thì ta có công thức:

∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u'(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv

Ví dụ minh họa: Tính nguyên hàm của hàm A = xexdx

Câu trả lời:

Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12

Chủ thể:

Một. Phát biểu định nghĩa nguyên hàm f(x) trên đoạn [a;b]

b. Tính chất của tích phân là gì? Đưa ra các ví dụ cụ thể.

Hướng dẫn giải bài tập:

Một. Xét hàm số y = f(x) liên tục tại [a; b]đặt F(x) là số nguyên hàm if(x) trên [a;b]

Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

b. Tính năng tích hợp:

Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12

Chủ thể:

Tìm nguyên hàm của các hàm cho dưới đây:

Hướng dẫn giải bài tập:

Một. Chúng ta có:

tôi nghĩ

b. Chúng ta có:

Có nguồn gốc từ:

c. Chúng ta có:

Có nguồn gốc từ:

đ. Với bài tập này, các em có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức cấp 3 rồi áp dụng nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc bạn cũng có thể sử dụng phương pháp cài đặt mã con để giải quyết các nguyên hàm như sau:

Chúng ta có:

Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12

Chủ thể:

Tính một số nguyên hàm sau:

Hướng dẫn giải bài tập:

Trường trung học năng khiếu khoa học số 4

Chủ thể:

Cho các số nguyên a, b thỏa mãn

Hãy thêm P = a + b

Hướng dẫn giải bài tập:

Đề thi thử Sở GD Bình Thuận

Chủ thể:

Cho hàm F(x) là nguyên hàm của hàm f(x). Khi biết F(3) = 3, tích phân:

Hướng dẫn giải bài tập:

Đối với kiểu học nâng cao này, bạn sẽ kết hợp 2 phương pháp, đó là tích phân ẩn (sub-implicit set) và tích phân từng phần.

Hãy xem các khóa học trực tuyến của Marathon Education ngay bây giờ

Qua bài viết trên, Team Marathon Education đã chia sẻ đến các bạn lý thuyết cơ bản về nguyên hàm, nguyên hàm cơ bản và mở rộng cùng các khái niệm cơ bản khác. công thức nguyên thủy cần sở hữu. Tôi hy vọng bài viết sẽ giúp bạn ghi nhớ công thức nguyên thủy những điều này một cách hiệu quả và giúp thực hiện chúng để giải quyết vấn đề nhanh chóng.

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu bạn có nhu cầu học trực tuyến Tăng kiến ​​​​thức của bạn! Marathon Education chúc các bạn đạt kết quả tốt nhất trong các bài kiểm tra và bài thi sắp tới!