Bài 1 trang 113 SGK Hình học 11

Cho ba mặt phẳng ((alpha)), ((beta )), ((gamma )), phát biểu nào sau đây là đúng?

a) Nếu ((alpha)botbeta) và ((alpha) // (gamma)) thì ((beta)bot(gamma));

b) Nếu ((alpha)botbeta) và ((alpha)bot(gamma)) thì ((beta)//(gamma)).

GIÁ

a) Cái đúng.

b) Sai.

Cho hai mặt phẳng ((alpha)) và ((beta)) vuông góc với nhau. Người ta lấy tại giao tuyến (Delta) của hai mặt phẳng này hai điểm (A) và (B) sao cho (AB=8cm). Gọi (C) là một điểm trên ((alpha)) và (D) là một điểm trên ((beta)) sao cho (AC) và (BD) cùng vuông góc với giao tuyến của (Delta) và (AC=6cm ), (BD=24cm). Tính độ dài của đoạn (CD).

GIÁ

(left. matrix{ (alpha ) bot (beta ) hfill cr AC bot Delta hfill cr subset AC (alpha ) hfill cr} right} Arrow Right AC bot (beta ))

Do đó (ACbot AD) hay tam giác (ACD) vuông tại (A)

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác (ACD) ta được:

$$D{C^2} = A{C^2} + A{D^2}(1)$$

Giả sử (BD) vuông góc với giao tuyến nên (BDbot AB) hay tam giác (ABD) vuông góc tại (B).

$$A{D^2} = A{B^2} + B{D^2}(2)$$

Từ (1) và (2) suy ra: (D{C^2} = A{C^2} + A{B^2} + B{D^2} = {6^2} + {8^2 } + {24^2} = 676)

(Phải DC = sqrt {676} = 26 cm)

Bài 3 trang 113 SGK Hình học 11

Trong mặt phẳng ((alpha)) cho tam giác (ABC) vuông tại (B). Một đoạn thẳng (AD) vuông góc với ((alpha)) tại (A). Kiểm chứng:

a) (\widehat{ABD}) là góc giữa hai mặt phẳng ((ABC)) và ((DBC));

b) Mặt phẳng ((ABD)) vuông góc với mặt phẳng ((BCD));

c) (HK//BC) có (H) và (K) là giao điểm của (DB) và (DC) với mặt phẳng ((P)) đi qua (A) và vuông góc với (DB).

a) Tam giác (ABC) vuông tại (B) nên (ABbot BC) (1)

(AD) vuông góc với ((alpha)) nên (ADbot BC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BCbot(ABD)) suy ra (BCbot BD)

(left. matrix{ (ABC) cap (DBC) = BC hfill cr BD bot BC hfill cr AB bot BC hfill cr} right} Mũi tên phải ) góc giữa hai mặt phẳng ((ABC)) và ((DBC)) là góc ( mũ rộng {ABD})

b)

(left. matrix{ BC bot (ABD) hfill cr subset BC (BCD) hfill cr} right} right arrow bot (ABD) (BCD))

c)

Mặt phẳng ((P)) đi qua (A) và vuông góc với (DB) nên (HKbot BC)

Trong ((BCD)) có: (HKbot BC) và (BCbot BD) phải kết luận (HK//BC).

Bài 4 trang 114 SGK Hình học 11

Cho hai mặt phẳng ((alpha)), ((beta)) và một điểm (M) cắt nhau không nằm trong ((alpha)) và không nằm trong ((beta)). Chứng minh rằng qua điểm (M) có một và chỉ một mặt phẳng ((P)) vuông góc với ((alpha)) và ((beta)). Nếu ((alpha)) song song với ((beta)) kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

GIÁ

Gọi (a=(alpha)capalla (beta)). Mặt phẳng ((P)) đi qua (M) và vuông góc với (a).

Vì (tập hợp con(alpha)) phải là ((P)bot(alpha)), (tập hợp con(beta)) phải là ((P)bot(beta))

Như vậy qua (M) có mặt phẳng ((P)) vuông góc với ((alpha)) và ((beta)).

Ngược lại: Nếu ((P)) đi qua (M) và vuông góc với ((alpha)) và ((beta)) thì ((P)bot a). Do tính duy nhất của mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước nên ((P)) là duy nhất.

Nếu ((alpha)//(beta)) gọi (d) là đường thẳng đi qua (M) và vuông góc với ((alpha)) thì ta có (dbot(beta)). Do đó mọi mặt phẳng chứa (d) đều vuông góc với ((alpha)) và ((beta)). Do đó khi ((alpha)//(beta)) có vô số mặt phẳng ((P)) đi qua (M) và vuông góc với ((alpha)) và ((beta)).

giaibaitap.me