Bài 1 trang 119 SGK Hình học 11

Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Đường thẳng (∆) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng (a) và (b) nếu (∆) vuông góc với (a) và (∆) vuông góc với (b);

b) Cho ((P)) là mặt phẳng song song với hai đường thẳng (a, b) cắt nhau. Khi đó đường vuông góc chung (∆) của (a) và (b) luôn vuông góc với ((P));

c) Gọi (∆) là đường vuông góc chung của hai đường chéo (a) và (b) thì (∆) là giao tuyến của hai mặt phẳng ((a, ∆)) và ((b, ∆));

d) Cho trước hai đường chéo (a) và (b). Bất kỳ đường thẳng nào đi qua một điểm (M) trong (a) và cắt (b) tại (N) và vuông góc với (b) là đường vuông góc chung của (a) và (b);

e) Đường vuông góc chung (∆) của hai đường chéo (a) và (b) nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia.

một sai lầm;

b) Đúng;

c) Đúng;

đ) Sai;

đ) Sai.

Bài 2 trang 119 SGK Hình học 11

Cho tứ diện (S.ABC) (SA) vuông góc với mặt phẳng ((ABC)). Gọi (H, K) lần lượt là trực tâm của các tam giác (ABC) và (SBC).

a) Chứng minh ba đường thẳng (AH, SK, BC) đồng quy.

c) Xác định đường vuông góc chung của (BC) và (SA).

GIÁ

a) Trong ((ABC)), goi (E = AH ∩ BC).

(H) là trực tâm của tam giác (ABC) nên (AEbot BC) (1)

(SAbot (ABC) Mũi tên phải SAbot BC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BC ⊥ (SAE)) (Chữ vuông BC ⊥ SE).

(K) là trực tâm của tam giác (SBCR-mũi tên SE ) đi qua (K) (Mũi tên phải AH, BC, SK) đồng thời tại (E).

b) Goi ((ABC)) (F = BH ∩ AC), trong ((SBC)) goi (D = BK ∩ SC). Khi đó ((BHK) đương lượng (BDF))

(SAbot (ABC) Mũi tên phải SAbot BF) (4)

Từ (3) và (4) suy ra (BFbot (SAC)Rightarrow BFbot SC) (2*)

từ

và (2*) kết luận (SCbot (BDF) tương đương (BHK)).

c) (AEbot BC) và (SAbot AERightarrow AE) là các đường vuông góc chung của (BC) và (SA).

Bài 3 trang 119 SGK Hình học 11

Cho hình lập phương (ABCD.A’B’C’D’) có cạnh (a). Chứng minh rằng khoảng cách từ các điểm (B, C, D, A’, B’, D’) đến đường chéo (AC’) bằng nhau. Tính quãng đường đó.

GIÁ

(H.3.64)

Gọi (K) là hình chiếu của (B) trên (AC’).

Xét tam giác (ABC’) vuông tại (B), ta có:

(frac{1}{BK^{2}}=frac{1}{BA^{2}}+frac{1}{BC^{2}}=frac{1}{a^{2}}+frac {1}{(asqrt{2})^{2}}=frac{3}{2a^{2}})

(Phải BK=frac{asqrt{6}}{3}.)

Chúng ta có:

(Delta ABC’ = Delta C’CA = Delta ADC’ = Delta AA’C’ = Delta C’B’A = Delta C’D’A(cgc))

Do đó khoảng cách từ (B, C, D, A’, B’, D’) đến (AC’) đều bằng ( frac{asqrt{6}}{3}) vì tất cả các đường cao của các tam giác đều bằng nhau quảng trường.

Bài 4 trang 119 SGK Hình học 11

Cho hình hộp chữ nhật (ABCD.A’B’C’D’) có (AB = a, BC= b, CC’ = c).

a) Tính khoảng cách từ (B) đến mặt phẳng ((ACC’A’)).

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (BB’) và (AC’).

GIÁ

(H.3.65)

a) Trong ((ABCD)) vẽ (BH) vuông góc với (AC) (1)

(CC’bot (ABCD)Ngay CC’bot BH) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (BHbot(ACC’A’)).

(BH) là đường cao trong tam giác vuông (ABC) nên ta có:

({1 trên {B{H^2}}} = {1 trên {A{B^2}}} + {1 trên {B{C^2}}})

(Mũi tên phải BH=frac{ab}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.)

b) (Tập con AC (ACC’A’)), mà (BB’ // (ACC’A’)) (Mũi tên phải d(BB’, AC’) = d(B,(ACC’A’)) = BH=frac{ab}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}.)

(Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường chéo (a) và (b) bằng khoảng cách giữa (a) và (mp(P)) chứa (b) và song song với (a)).